Пи (тоо) хуудаһанай код харалга

{| class="infobox bordered"
| colspan="2" align="center" | [[Тоонуудай жагсаалта]] – [[Иррационал тоо]]нууд <br /> [[Аперын тогтомол|ζ(3)]] – [[2-ой изагуур|√2]] – [[3-ай изагуур|√3]] – [[5-ай изагуур|√5]] – [[Алтан харисаа|φ]] – [[Фейгенбаумай тогтомолнууд|α]] – [[E (математикын тогтомол)|e]] – [[Пи (тоо)|π]] – [[Фейгенбаумын тогтомолнууд|δ]]
|-
|[[Хоёртын тооллын систем|Хоёртын тоолол]]
| 11.00100100001111110110…
|-
| [[Аравтын тооллын систем|Аравтын тоолол]]
| 3.14159265358979323846…
|-
| [[Арван зургаатын тооллын систем|16-тын тоолол]]
| 3.243F6A8885A308D31319…
|-
| [[Үргэлжэлһэн хубаагша]]
| <math>3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}</math><br /><small>Энэ үргэлжэлһэн хубаагшань дабтамжагүй гэдэгые анхаараарай.</small>
|}
[[Файл:Pi-unrolled-720.gif|thumb|400px|right|Тойрогой диаметр 1 үедэ тэрэнэй утань π байна.]]
<span style="font-size:x-large;"><math>\pi~</math></span> ('''«пи»''' гэжэ дуудадаг) — ойролсоогоор 3.14159-тэй тэнсүү болон эгээн шухала [[математикын тогтомол]]нуудай нэгэ юм. Энэ тоонь [[Евклид|Евклидэй геометри]]да алибаа [[Тойрог|тойрогой]] утые тэрэнэй диаметрта хубааһан харисаае элирхылдэг. Мүн тойрогой талмайе тэрэнэй радиусай квадратда хубааһан харисаагааршье элирхылжэ болодог. Пинь математика болон байгаалиин шэнжэлхэ ухаанай бусад олон томьёонуудта хэрэглэгдэдэг. Пи тоонь [[иррационал тоо]] болоод энэнь таһалалай арын оронууд 3.1415926535897932-нь дабтагдахагүйгээр түгэсхэлгүй үргэлжэлнэ гэһэн үгэ. Математикын түүхын туршада π-иие үндэр нарин нягтатайгаар тодорхойлжо, тэрэнэй шэнжэ шанарые шудалха гэһэн ехэхэн хүсэн шармайлтанууд зарсуулжа ерэһэн.

Грек үзэг π (ехэбшэлэн ''пи'' гэжэ бэшэдэг) ''периметр'' гэһэн Грек үгэһөө гаралтай. Магадгүй [[Уильям Джонс]] 1706 ондо энэ үзэгээр тэмдэглэһэн болон һүүлдэ хэдэн жэлэй дараа [[Леонард Эйлер]] энэниие түгээмэл болгоһон. "π"-иие грекээр ''пи'' гэжэ дуудадаг. Энэ тогтомолые мүн хааяа ''тойрогой тогтомол'', ''[[Архимед]]ай тогтомол'' (Архимедай тоотой андууржа болохогүй) гү, али ''[[Людольф ван Цюлен|Людольфын]] тоошье'' гэжэ дурдадаг.

{{Оруулга | Выравнивание = right | Ширина = 30em | Содержание =
<div style="text-align:right">
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4[[Точка Фейнмана|999999]]837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
</div>
 | Подпись         =<hr />
π тооной таһалал һүүлдэ 1000 дугаарнууд<ref>[http://www.math.com/tables/constants/pi.htm PI<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>
}}

== Шэнжэ шанарнууд ==
=== Трансцендент ба иррационал шанарнууд ===
* <math>\pi</math> — [[иррационал тоо]] юм<ref>{{Cite news
  | last = Lambert
  | first = Johann Heinrich
  | title = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques
  | publication-date = 1768
  | year = 1761
  | periodical = Histoire de l'Académie,
  | publication-place = Berlin
  | volume = XVII
  | pages = 265–322
  | postscript = }}</ref> 
* <math>\pi</math> — [[трансцендент тоо]].
* <math>e^\pi</math><ref>{{MathWorld|GelfondsConstant|Постоянная Гельфонда}}</ref> баһал трансцендент тоо юм.
* <math>\pi</math> [[хугасаанай сахариг]]ай нэгэ элемент юм (тиимэһээ, <math>\pi</math> [[Тоосоологдохо тоо|тоосоологдохо]] болон [[арифметикын тоо]] юм).

=== Харилсаанууд ===
<math>\pi</math> тооной олон томьёонууд байдаг:

* [[Франсуа Виет]]:
:: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt{2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots</math>
* [[Валлисай томьёо]]:
:: <math>\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}</math>
* [[Лейбницай субарал]]:
:: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
* Бусад субаралнууд:
:: <math>\begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right)
\end{align}</math>

:: <math> \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)}</math>
* Олон тоо:
:: <math>\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}</math>
* [[Хизаар (математика)|Хизаарнууд]]:
:: <math>\pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}}</math>
:: <math>\pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad \to  </math> здесь <math> p_k \, - </math> простые числа

* [[Леонард Эйлер|Эйлерэй]] эжэл байдал:
:: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
* Бусад [[Математикын тогтомол|тогтомолнуудтай]] харилсаа:
:: <math>\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math>
:: <math>\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
* «[[Симеон Дени Пуассон|Пуассонай]] интеграл» гү, али «[[Карл Фридрих Гаусс|Гауссай]] интеграл»
:: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math>
* [[Интегралай синус]]:
:: <math>\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi </math>
* [[Дилогарифм]]аар элирхылэл:<ref>{{MathWorld|PiSquared|Pi Squared}}</ref>
:: <math>\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}</math>
* Зохисгүй интегралаар элирхылэл:
:: <math>\int\limits_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi</math>

== Зүүлтэ ==
{{зүүлтэ}}

[[Категори:Математикын тогтомолнууд]]
{{1000 үгүүлэл}}